jueves, 20 de octubre de 2011

jueves, 28 de julio de 2011

la altura de los triangulos

Altura en tres dimensiones

La altura de un objeto o figura geométrica es una longitud o una distancia, usualmente vertical o en la dirección de la gravedad. Este término también se usa para designar la coordenada vertical de la parte más elevada de un objeto. En coordenadas cartesianas (x, y, z), la altura de los volúmenes corresponde a la coordenada Z que es la que se sitúa perpendicular al suelo (vertical), normalmente, ya que X e Y son asignados a valores horizontales: anchura (o ancho) y longitud (o largo). Popularmente, el sustantivo «altura» puede ser reemplazado por «alto» (adjetivo sustantivizado), que la Real Academia Española acepta como vigesimotercera acepción en su Diccionario.¹

[editar] Altura en figuras planas

En figuras contenidas en el plano euclidiano, la altura es la distancia perpendicular a un eje horizontal fijado por convención. En coordenadas cartesianas (x, y), en el plano, la altura se refiere a la distancia perpendicular al eje X, o la longitud de un segmento paralelo al eje Y. En un paralelogramo, la altura es la menor distancia entre los dos lados paralelos.
En un cuadrilátero con al menos dos lados paralelos, la altura es la menor distancia entre los dos lados paralelos.

[editar] Alturas de un triángulo

En un triángulo la altura respecto de un lado, es la distancia entre la recta que contiene al lado y el vértice opuesto. Equivale a un segmento perpendicular a dicho lado con un extremo en el vértice opuesto y el otro en dicho lado, o en su prolongación. La intersección de la altura y el lado opuesto se denomina «pie» de la altura.

En la figura, las alturas respecto de sus tres lados BC, CA y AB son AA", BB" y CC".
La magnitud de la altura sirve para calcular el área de un triángulo, siendo su valor: a = b·h/2, donde a es el área, b la base –la longitud del lado "inferior"–, y h su altura correspondiente.
En la figura, pueden ser BC·AA"/2, AB·CC"/2 o AC·BB"/2.
Ésta fórmula se puede demostrar, geométricamente, trazando un rectángulo cuya área es el doble del área del triángulo, con la misma base y la misma altura.

medida de triangulos

Teorema: La suma de las medidas de los ángulos de un triángulo es 180°.

Teorema: Cada ángulo de un triángulo equiangular tiene una medida de 60°.

Teorema: Los ángulos agudos de un triángulo rectángulo son complementarios.

Teorema: La medida de un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de las medidas de sus dos ángulos interiores remotos.

Teorema: La medida de un ángulo exterior de un triángulo es mayor que la medida de cualesquiera de sus ángulos interiores remotos.

Ejemplo: Si los ángulos de un triángulo son 2x, 3x y x. Determina las medidas de cada ángulo.

Se suman las tres medidas y se iguala a 180.

2x + 3x + x = 180

6x = 180

x=180/6

x = 30

Las medidas de cada ángulo son: 60, 90 y 30.

clases de triangulo

Propiedades de los triángulos

1 Un lado de un triángulo es menor que la suma de los otros dos y mayor que su diferencia.

2 La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a 180°.

3 El valor de un ángulo exterior es igual a la suma de los dos interiores no adyacentes.

Clases de triángulos

Según sus lados

Triángulo equilátero

Tres lados iguales.

Triángulo isósceles

Dos lados iguales.

Triángulo escaleno

Tres lados desiguales

Según sus ángulos

Triángulo acutángulo

Tres ángulos agudos

Triángulo rectángulo

Un ángulo recto
El lado mayor es la hipotenusa.
Los lados menores son los catetos.

Triángulo obtusángulo

Un ángulo obtuso.

la Bisectriz

La bisectriz de un ángulo es la recta que lo divide en dos partes iguales. Es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan (están a la misma distancia ) de las semirrectas de un ángulo.

los angulos

Ángulo

Para otros usos de este término, véase Ángulo (desambiguación).

Un ángulo positivo de 45°.

Ángulo de 1°
(amplitud de 1 grado sexagesimal).

Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas que tienen el mismo punto de origen.¹ Suelen medirse en unidades tales como el radián, el grado sexagesimal o el grado centesimal.
Pueden estar definidos sobre superficies planas (trigonometría plana) o curvas (trigonometría esférica). Se denomina ángulo diedro al espacio comprendido entre dos semiplanos cuyo origen común es una recta. Un ángulo sólido es el que abarca un objeto visto desde un punto dadomidiendo su tamaño aparente.

jueves, 9 de junio de 2011

diferencia de conjuntos

En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia de A y B, donde A y B son dos conjuntos cualquiera, al conjunto formado por todos los elementos que están en A pero no están en B . El conjunto diferencia de A y B se denota por A-B o por A\B,
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es:

$A - B = \{ x\; : x \in A \; \land \; x \not\in B \}$

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos

A - B

son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

[editar] Ejemplos

Si dados los conjuntos:

$A = \{a, b, c, d\} \;$

$B = \{b, d\} \;$

la diferencia de conjuntos A - B es:

$A - B = \{ a, c \} \;$

Si tenemos los conjuntos:

$A = \{ a, b, c, d \} \;$

$B = \{ c, d, e, f \} \;$

entonces:

$A - B = \{ a, b \} \;$

$W = \{x : \; x \in \N \; \land \; x \; impar \; \land \; 0 < x < 13\}$

$Z = \{ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \} \;$

entonces:

$W - Z = \{ 1, 3, 5 \} \;$

$Z - W = \{ 8, 10, 12, 13\} \;$

[editar] Observaciones

$A \cap B = \varnothing$ .

La notación más utilizada es A - B, si bien algunos autores también utilizan la notación A\B.
La diferencia de conjuntos no es conmutativa.
Los elementos de la intersección no se consideran parte de la Diferencia de Conjuntos.

Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces la diferencia de conjuntos es:

$A - B = A \;$

$B - 2 = B \;$

[editar] Diferencia simétrica

$A \triangle B$ .

Sean A y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:

$A \triangle B = (A - B)\cup(B - A)$

$A \triangle B = (A \cup B) - (B \cap A)$

[editar] Propiedades

$A - A = \varnothing \,$
$A - \varnothing\ = A$
$\varnothing - A = \varnothing\,$
$A - B = A \cap B^C$
$A \subset B \iff A - B = \varnothing$
$A - ( A - B ) = A \cap B$
$A \cap (B - C)= (A \cap B) - (A \cap C)$

union de conjuntos

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los número impares positivos I:

P = {2, 4, 6, ...}

I = {1, 3, 5, ...}

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.
Dados dos conjuntos A y B, la unión de ambos, A ∪ B, es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B:

La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B:

$x\in A\cup B\text{ si y s}\acute\text{o}\text{lo si }x\in A\ {\text{o}}\ x\in B$

Ejemplos.

Si A = {a, ♠, 5} y B = {8, #}. La unión es A ∪ B = {5, #, a, ♠, 8}.
Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D = {m: m es un número compuesto}. La unión es entonces (C ∪ D) = {n: n es primo o compuesto} = {2, 3, 4, 5, ...}, ya que el único número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos (a diferencia de los multiconjuntos, que sí permiten repeticiones).

La unión de {1, 2, 3, 4, 5} y {6, 2, 9, 1} es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}.

[editar] Generalizaciones

Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:

$A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n :=\{ x : x\in A_k \text{ para alg}\acute{\text{u}}\text{n } k\le n\}$

Y la unión se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:

$A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n=A_1\cup(A_2\cup(\ldots(A_{n-1}\cup A_n){\scriptstyle \ldots})$

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:

Sea M una familia de conjuntos. Su unión ∪M se define como:

$x\in\bigcup M\text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si existe un }A\in M\text{ tal que }x\in A$

De este modo, la unión de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de la definición general anterior.

A ∪ B = ∪M, donde M = {A, B}

A₁ ∪ ... ∪ A_n = ∪M, donde M = {A₁, ..., A_n}

La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:

$\bigcup M=\bigcup_{A\in M}A=\bigcup_{i\in I}A_i\text{ ,}$

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, tomando M como {A_i: i ∈ I}.

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