el mundo de las matematicas: diferencia de conjuntos

jueves, 9 de junio de 2011

diferencia de conjuntos

En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia de A y B, donde A y B son dos conjuntos cualquiera, al conjunto formado por todos los elementos que están en A pero no están en B . El conjunto diferencia de A y B se denota por A-B o por A\B,
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es:

$A - B = \{ x\; : x \in A \; \land \; x \not\in B \}$

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos

A - B

son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

[editar] Ejemplos

Si dados los conjuntos:

$A = \{a, b, c, d\} \;$

$B = \{b, d\} \;$

la diferencia de conjuntos A - B es:

$A - B = \{ a, c \} \;$

Si tenemos los conjuntos:

$A = \{ a, b, c, d \} \;$

$B = \{ c, d, e, f \} \;$

entonces:

$A - B = \{ a, b \} \;$

Si:

$W = \{x : \; x \in \N \; \land \; x \; impar \; \land \; 0 < x < 13\}$

$Z = \{ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \} \;$

entonces:

$W - Z = \{ 1, 3, 5 \} \;$

y

$Z - W = \{ 8, 10, 12, 13\} \;$

[editar] Observaciones

$A \cap B = \varnothing$ .

La notación más utilizada es A - B, si bien algunos autores también utilizan la notación A\B.
La diferencia de conjuntos no es conmutativa.
Los elementos de la intersección no se consideran parte de la Diferencia de Conjuntos.

Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces la diferencia de conjuntos es:

$A - B = A \;$

y

$B - 2 = B \;$

[editar] Diferencia simétrica

$A \triangle B$ .

Sean A y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:

$A \triangle B = (A - B)\cup(B - A)$

$A \triangle B = (A \cup B) - (B \cap A)$

[editar] Propiedades

$A - A = \varnothing \,$
$A - \varnothing\ = A$
$\varnothing - A = \varnothing\,$
$A - B = A \cap B^C$
$A \subset B \iff A - B = \varnothing$
$A - ( A - B ) = A \cap B$
$A \cap (B - C)= (A \cap B) - (A \cap C)$

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