el mundo de las matematicas: junio 2011

diferencia de conjuntos

En teoría de conjuntos, se denomina conjunto diferencia de A y B, donde A y B son dos conjuntos cualquiera, al conjunto formado por todos los elementos que están en A pero no están en B . El conjunto diferencia de A y B se denota por A-B o por A\B,
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de conjuntos A - B es:

$A - B = \{ x\; : x \in A \; \land \; x \not\in B \}$

Los elementos que pertenecen a la diferencia de conjuntos

A - B

son aquellos elementos que pertenecen a A y no pertenecen a B.

[editar] Ejemplos

Si dados los conjuntos:

$A = \{a, b, c, d\} \;$

$B = \{b, d\} \;$

la diferencia de conjuntos A - B es:

$A - B = \{ a, c \} \;$

Si tenemos los conjuntos:

$A = \{ a, b, c, d \} \;$

$B = \{ c, d, e, f \} \;$

entonces:

$A - B = \{ a, b \} \;$

$W = \{x : \; x \in \N \; \land \; x \; impar \; \land \; 0 < x < 13\}$

$Z = \{ 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 \} \;$

entonces:

$W - Z = \{ 1, 3, 5 \} \;$

$Z - W = \{ 8, 10, 12, 13\} \;$

[editar] Observaciones

$A \cap B = \varnothing$ .

La notación más utilizada es A - B, si bien algunos autores también utilizan la notación A\B.
La diferencia de conjuntos no es conmutativa.
Los elementos de la intersección no se consideran parte de la Diferencia de Conjuntos.

Si A y B son conjuntos disjuntos, entonces la diferencia de conjuntos es:

$A - B = A \;$

$B - 2 = B \;$

[editar] Diferencia simétrica

$A \triangle B$ .

Sean A y B dos conjuntos. Se denomina diferencia simétrica entre A y B a:

$A \triangle B = (A - B)\cup(B - A)$

$A \triangle B = (A \cup B) - (B \cap A)$

[editar] Propiedades

$A - A = \varnothing \,$
$A - \varnothing\ = A$
$\varnothing - A = \varnothing\,$
$A - B = A \cap B^C$
$A \subset B \iff A - B = \varnothing$
$A - ( A - B ) = A \cap B$
$A \cap (B - C)= (A \cap B) - (A \cap C)$

union de conjuntos

En la teoría de conjuntos, la unión de dos (o más) conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son los elementos de los conjuntos iniciales. Por ejemplo, el conjunto de los números naturales es la unión del conjunto de los números pares positivos P y el conjunto de los número impares positivos I:

P = {2, 4, 6, ...}

I = {1, 3, 5, ...}

N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, ...}

La unión de conjuntos se denota por el símbolo ∪, de modo que por ejemplo, N = P ∪ I.
Dados dos conjuntos A y B, la unión de ambos, A ∪ B, es el conjunto que contiene todos los elementos de A y de B:

La unión de dos conjuntos A y B es otro conjunto A ∪ B cuyos elementos son todos los elementos de A o de B:

$x\in A\cup B\text{ si y s}\acute\text{o}\text{lo si }x\in A\ {\text{o}}\ x\in B$

Ejemplos.

Si A = {a, ♠, 5} y B = {8, #}. La unión es A ∪ B = {5, #, a, ♠, 8}.
Considerando los conjuntos de números naturales C = {n: n es un número primo} y D = {m: m es un número compuesto}. La unión es entonces (C ∪ D) = {n: n es primo o compuesto} = {2, 3, 4, 5, ...}, ya que el único número natural que no es ni primo ni compuesto es (por definición) 1.

En la unión de conjuntos, los elementos repetidos sólo aparecen una vez, pues los conjuntos no pueden tener elementos repetidos (a diferencia de los multiconjuntos, que sí permiten repeticiones).

La unión de {1, 2, 3, 4, 5} y {6, 2, 9, 1} es {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9}.

[editar] Generalizaciones

Es posible definir la unión de un número finito de conjuntos, superior a dos:

$A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n :=\{ x : x\in A_k \text{ para alg}\acute{\text{u}}\text{n } k\le n\}$

Y la unión se puede calcular utilizando la propiedad asociativa de la unión (más abajo). De este modo, para unir varios conjuntos el orden en el que se haga es irrelevante:

$A_1\cup A_2\cup\ldots\cup A_n=A_1\cup(A_2\cup(\ldots(A_{n-1}\cup A_n){\scriptstyle \ldots})$

Una definición más general en teoría de conjuntos se refiere a una familia de conjuntos:

Sea M una familia de conjuntos. Su unión ∪M se define como:

$x\in\bigcup M\text{ si y s}\acute{\text{o}}\text{lo si existe un }A\in M\text{ tal que }x\in A$

De este modo, la unión de un número finito de conjuntos es sólo un caso particular de la definición general anterior.

A ∪ B = ∪M, donde M = {A, B}

A₁ ∪ ... ∪ A_n = ∪M, donde M = {A₁, ..., A_n}

La unión general de conjuntos se denota de diversas maneras:

$\bigcup M=\bigcup_{A\in M}A=\bigcup_{i\in I}A_i\text{ ,}$

donde esta última se aplica en el caso de que utilicemos un conjunto índice, tomando M como {A_i: i ∈ I}.

interseccion de conjuntos

Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que son comunes a A y B. Se denota por A

B, que se lee: A intersección B. La intersección de A y B también se puede definir:

B = { x / x

A y x

B } y mediante un diagrama de Venn-Euler:


Cuando tienen	Cuando no tienen	Cuando todos los elementos de un
elementos comunes	elementos comunes	conjunto pertenecen a otro conjunto

1. Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }, efectuar y construir los diagramas respectivos:

A C

B C

A B

Tenemos:

a) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y C = { 2, 4 }

				A C = { , }

				Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y C

b) B = { 3, 5, 7 } y C = { 2, 4 }

				B C = { }

				Representación gráfica de la intersección de conjuntos B y C

c) A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } y B = { 3, 5, 7 }

				A B = { , }

				Representación gráfica de la intersección de conjuntos A y B

jueves, 9 de junio de 2011